聊一聊抗弯惯矩、抗扭惯矩的物理意义与计算方法

数值模拟 1年前 (2016-09-27) 23 人围观 0

今天偶然看到一篇帖子,感觉截面特性计算的过程中,很容易在一些基本概念上出现理解偏差,于是呢,今天咱就来聊聊平面几何性质的这些事儿。

截面几何性质的用处

对于受弯、受扭构件而言,截面几何性质在很多情况下都能用得上,比如两个最常用的:

在横截面上离中性轴最远的各点处,弯曲正应力最大,其值为:

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在横截面上离形心最远的各点处,扭转的剪应力最大,其值为:

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所有与截面有关的计算问题,都会涉及到截面几何性质,比较典型的,就是抗弯惯矩、抗扭惯矩等“各种矩”。

需要注意的是,抗弯惯矩对应的是材料力学里的惯性矩,抗扭惯矩“部分等价于”材料力学里的极惯性矩。

各种“矩”

静矩

静矩又称为“一阶矩”,百度百科里给出的定义是:对函数与自变量的积xf(x)的积分(连续函数)或求和(离散函数)。力学中用以表示f(x)分布力到某点的合力矩,几何上可以用来计算重心,统计学中叫做数学期望(均值)。

觉得拗口?咱们“望文生义”一下,第一次接触到“矩”是在哪里?中学时候学过的力矩,对吧,力矩等=力*力臂,我们来类比一下,把静矩看作“静力矩”,是静力的力矩,静力指的是重力。看下面的图:

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对于面积微元dA而言,对于z轴的静矩,就是dA对应的重力乘以dA到z轴的力臂,也就是yc,那么对dA在整个平面上积分,就成了这个平面对z轴的静矩:

2016-09-27_193054 (量刚:m3)

不知道有人发现了没有,刚才说的不是“重力”嘛,怎么是对平面的积分呢?因为研究的对象就是一个没有厚度的面,对于理想的等截面匀质构件来说,面积-体积-重力就是成正比的物理量了。

那么,静矩有什么用呢?

计算形心位置,因为当坐标轴通过形心时,对应的静矩就会是0,因此对于非对称的复杂截面,我们需要得到形心位置,从而可以把整个截面的重力集中到形心点上去,实现结构分析的简化。

形心位置:

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其实,严格来说,本文讲的全部“重力”,都应当替换成“质量”更稳妥。因为所谓形心(质心)指的是把为质量集中在此点的假想点。当截面由不同材质组成,形心和重心就不重合了。

惯性矩

有了静矩的分析经验,我们还是来“望文生义”,把惯性矩看为“惯性力矩”,惯性力指的是什么呢?

什么时候有惯性?当然是运动的时候啦,所以,这回和刚体运动联系上,物体发生转动的时候,有外力矩=转动惯量*角加速度的关系,那么回顾一下转动惯量是怎么定义的:

转动惯量

其中,m是质量,r是半径,长度单位。

惯性矩

从上图可见,是不是找到相似之处了?同样是面积量(这里把面积等同于质量)乘以到坐标轴力臂的平方:

惯性矩

至于“惯性”也好理解,截面在受弯时,是不是可以理解为绕着中性轴发生截面的微小转动呢?

惯性半径

上面的公式,分别是表示绕着Z轴转的Iz和绕着Y轴转的Iy,那么在一个平面内,只能绕着两个轴转么?能绕着一个点转吗?别忘了还可以引入“极坐标”的概念:极惯性矩

极惯性矩与惯性矩的关系

想一想,一个截面,绕着一个点旋转,是什么效果?这就是扭转啦!

惯性积

注意上面的各种“力臂”,讨论了一阶的力臂,也讨论了一阶力臂的平方,那么将两个一阶力臂相互乘积,能得到什么物理量:

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如果截面对Y或Z有一个对称轴,则Iyz=0,它的意义在于——表明截面是有对阵轴的,那么称这对使惯性积为零座标轴称为惯性主轴,若是惯性主轴再通过形心,就叫形心主轴。

复杂截面如何计算抗弯惯矩和抗扭惯矩

利用AutoCAD进行计算:

步骤如下:

1.在同一个图层内绘制截面

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2.利用region命令(简化命令是reg),把每一个封闭曲线都创建成一个面域;

3.利用substrate命令(简化命令是su),根据CAD程序提示,先后从大面域里“减去”小面域。这个过程也可以理解为从一个大面积里“抠出”三个洞,总之做好之后,点击线上任一点,就呈现全选的状态,如下图所示就对了。

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4.利用massprop命令查看此面的属性:

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美中不足的是,上面的截面的形心并没有在坐标原点,当然可以处理一下。当然可以用创建用户坐标系的方法来做,我用了一个比较简单的方法,就是用划线命令,line,输入第一点坐标即(482.5790,114.8464),这就可以定到形心上了。总之呢,把截面调整到形心处:

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计算结果如下:

面积: 95092.9445
周长: 6059.9333
边界框: X: -832.5790 — 892.4210
Y: -114.8464 — 85.1536
质心: X: 0.0000
Y: 0.0000
惯性矩: X: 457258904.5254
Y: 16959671763.2843
惯性积: XY: 249385689.1575
旋转半径: X: 69.3437
Y: 422.3131

其中,质心指的是形心,惯性矩X指的是Ix,惯性矩Y指的是Iy

注意到“边界框”了吗?这是用来计算抗弯截面系数的:

Wx1=Ix/ymax=457258904.5254/832.5790=549207.8284mm3

Wx2= Ix/ymin=457258904.5254/892.4210=512380.2606mm3

Wy1= Iy/xmax=16959671763.2843/85.1536=199165646.1181mm3

Wy2= Iy/ymin=16959671763.2843/114.8464=147672645.9278mm3

这个方法的优点是非常便捷,缺点是不能计算抗扭惯矩

利用迈达斯截面计算器

1.把截面绘制出来,并由AutoCAD存成dxf格式文件,注意不要定义成面域,否则无法导入到迈达斯内,已经定义了的,用x命令炸开;

2.在截面计算器中,导入dxf格式文件

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3.双击树形结构中section命令,框选全部,确定后创建平面:

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4.点击菜单Property下的List Section Propery:

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其中J就是抗扭惯矩

如此看来,其实迈达斯用起来更方便一些。

其实,构件的抗扭惯性矩对于圆形截面,就等于极惯性矩,对于矩形以及更复杂的截面,计算方法要复杂一些,不同于极惯性矩的计算方法。

手算方法

说是手算,实际上就是用Excel编辑的公式对截面进行简化计算啦,在某些特定条件下可以用作参考。

找到了一个比较靠谱的版本,是华南理工大学的兄弟分享的,感兴趣的话,大家可以下载回来看看:

链接:http://pan.baidu.com/s/1pKUkFDD

密码:196p